Als nächstes wollen wir uns mit dem wirklich fundamentalen Begriff der Stetigkeit von Funktionen beschäftigen.

Und die Idee, was dahinter steckt, ist eigentlich das folgende.

Wir wollen eigentlich das folgende machen.

Ja, nicht x gegen unendlich, das ist zwar auch erlaubt, aber nicht das allgemeine, was wir uns anschauen wollen.

Der Grenzwert von f von x für x gegen x Stern, wir wollen das hier gerne hier reinziehen.

Und schreiben f von Grenzwert x gegen x Stern von x.

Also f von x Stern natürlich.

Das wollen wir eigentlich haben.

Und f für das das stimmt, heißt dann stetig bei x gleich x Stern oder stetig an der Stelle x Stern.

Und eine Funktion f, die auf einem Definitionsbereich definiert ist.

Und wo x Stern im Definitionsbereich ist und gleichzeitig auch ein Häufungspunkt von df ist.

Wir haben zum Beispiel vorhin gesehen die Menge der Reziproken natürlich in Zahlen.

Da ist ein halb zwar drin, aber es ist kein Häufungspunkt davon.

Das wäre jetzt hier nicht erlaubt.

x Stern muss sowohl in df drin sein, als auch ein Häufungspunkt von df.

Dann heißt f stetig an der Stelle x Stern, wenn der Grenzwert von f von x für x gegen x Stern gleich f von x Stern ist.

Warum brauchen wir beides?

Wir brauchen x Stern in df, damit wir es hier einsetzen können.

Und wir brauchen x Stern Häufungspunkt von df, damit wir diesen Grenzwert hier definieren können.

Wenn die rechte Seite und die linken Seite vergleichen können, muss natürlich beides existieren.

Und wenn es der Fall ist, dann heißt f stetig an der Stelle x Stern.

Jetzt können wir sozusagen eine Stufe runterspringen.

Jetzt erinnern wir uns noch daran, was dieses Symbol hier bedeutet.

Das Symbol hier bedeutet, dass es egal war, welche Folge x n wir gewählt haben, die sich an x Stern anschmiegt.

Und das ist dann der Grenzwert.

Das heißt, für alle Folgen x n, die gegen x Stern konvergieren und die nicht identisch an gleich x Stern sind,

wo noch strenger kein Folgenlück nach x Stern ist,

für die muss gelten, dass der Grenzwert von f von x n für n gm und ntlich gleich f von x Stern ist.

Das ist eine stetige Funktion bzw. eine Funktion, die stetig an x Stern ist.

Jetzt eine stetige Funktion ganz allgemein ist eine Funktion, die stetig in allen Punkten ist.

Also stetig heißt stetig überall.

Und die Menge der stetigen Funktionen, also wenn man sich unterhalten möchte über die Menge von stetigen Funktionen,

dann nennt man das oft C0 von D oder so ein Faktor C0 oder einfach nur C von D oder wie auch immer.

Und dieses C steht für continuous, also stetig.

Also eine Funktion ist genau dann stetig, wenn der Funktionsgrenzwert dort existiert und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt.

Also diese Funktion hier ist stetig, weil die Funktionswerte, wenn wir es hier dagegen konvergieren,

auf der x-Achse, x n konvergiert gegen x Stern, da konvergieren auch gleichzeitig hier diese Werte hier gegen f von x Stern.

Gegenbeispiel wäre hier sowas hier.

Das machen wir noch ein bisschen einfacher, machen wir das lieber so.

Wir nehmen mal diesen Punkt raus und setzen ihn auf diesen Wert und dann geht die Funktion noch irgendwie anders weiter.

Das ist hier x Stern.

Jetzt können wir mal deswegen hier so eine Folge nehmen.

x n konvergiert gegen x Stern.

Dann, das sind jetzt diese Punkte hier, die konvergieren dann hier dagegen.

Das ist der Grenzwert für x gegen x Stern von f von x.

Aber das hier ist f von x Stern.

Und das ist nicht das Gleiche.

Okay.

Also das haben wir am Anfang schon gesagt.

Stetigkeit von f in x Stern heißt, dass wir Grenzwerte mit Grenzwerte x Stern hier reinschubsen können.